Что это такое?

Квадратное уравнение — это уравнение, где переменная x возведена в квадрат. Оно всегда выглядит так: ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a не может быть нулём (иначе это будет обычное линейное уравнение).
Полные уравнения содержат все три части: ax² + bx + c = 0. Пример: 2x² - 5x + 3 = 0.
Неполные уравнения бывают трёх типов:

1. Когда c = 0: ax² + bx = 0. Решаем вынесением x за скобки. Пример: x² + 4x = 0 → x(x + 4) = 0 → x = 0 или x = -4.
2. Когда b = 0: ax² + c = 0. Решаем переносом числа. Пример: x² - 9 = 0 → x² = 9 → x = 3 или x = -3.
3. Когда b = 0 и c = 0: ax² = 0. Только одно решение: x = 0.

Главный инструмент — дискриминант

Дискриминант (обозначается D) — это специальное число, которое показывает, сколько корней имеет уравнение. Формула дискриминанта простая: D = b² - 4ac. Просто подставляем числа a, b, c из уравнения.

Что показывает дискриминант?

Если D > 0 — уравнение имеет два различных корня. Их находим по формуле: x₁ = (-b + √D)/(2a) и x₂ = (-b - √D)/(2a). Пример: x² - 5x + 6 = 0 → a=1, b=-5, c=6 → D=25-24=1 → x₁=(5+1)/2=3, x₂=(5-1)/2=2.
Если D = 0 — уравнение имеет один корень (говорят "два одинаковых корня"). Формула: x = -b/(2a). Пример: x² - 4x + 4 = 0 → D=16-16=0 → x=4/2=2.
Если D < 0 — уравнение не имеет действительных корней (в школьной программе говорят "корней нет"). Пример: x² + 2x + 5 = 0 → D=4-20=-16 → корней нет.

Быстрый способ — теорема Виета

Если в уравнении a = 1 (уравнение выглядит как x² + px + q = 0), можно использовать теорему Виета. Она гласит: сумма корней равна -p, а произведение корней равно q. Пример: x² - 7x + 10 = 0 → ищем два числа, которые в сумме дают 7, а в произведении 10 → это 2 и 5 → x₁=2, x₂=5.

Алгоритм решения по шагам

1.Записываем уравнение в стандартном виде: ax² + bx + c = 0

2.Выписываем коэффициенты: a, b, c

3.Вычисляем дискриминант: D = b² - 4ac

4.Определяем количество корней по D:

• D > 0 → два корня: x₁,₂ = (-b ± √D)/(2a)
• D = 0 → один корень: x = -b/(2a)
• D < 0 → корней нет

5.Записываем ответ

Полезные советы

1. Всегда упрощайте уравнение, если можно разделить все коэффициенты на общее число
2. Проверяйте корни подстановкой в исходное уравнение
3. Для уравнений с a=1 сначала пробуйте подобрать корни по теореме Виета
4. Запомните частые табличные дискриминанты: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — они дают целые корни